ABCA₁В₁С₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро имеют длину 6. Через се­ре­ди­ны ребер АС и BB₁ и вер­ши­ну A₁ приз­мы про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 10. Пло­щадь его бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 26 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед такой, что Через се­ре­ди­ны ребер AA₁ и BB₁ про­ве­де­на плос­кость (см.рис.), со­став­ля­ю­щая угол 60° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да этой плос­ко­стью.

Объем ко­ну­са равен 5, а его вы­со­та равна Най­ди­те пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Куб впи­сан в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду так, что че­ты­ре его вер­ши­ны на­хо­дят­ся на бо­ко­вых реб­рах пи­ра­ми­ды, а че­ты­ре дру­гие вер­ши­ны  — на ее ос­но­ва­нии. Длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2, вы­со­та пи­ра­ми­ды  — 6. Най­ди­те пло­щадь S по­верх­но­сти куба. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 4S.

Точки A, B, C лежат на боль­шой окруж­но­сти сферы так, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний. Если AB  =   то пло­щадь сферы равна:

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, если длина бис­сек­три­сы ее ос­но­ва­ния равна и плос­кий угол при вер­ши­не

Через точку A вы­со­ты SO ко­ну­са про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди по­лу­чен­но­го се­че­ния, если SA : AO = 2 : 3.

Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пря­мой тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около шара, если пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна 7,5.

В тет­ра­эд­ре SABC с реб­ром 24 точка P при­над­ле­жит SC так, что и Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью MNP.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, длина ги­по­те­ну­зы ко­то­ро­го равна 6, ост­рый угол равен 30°. Каж­дая бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом, рав­ным Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб, длина ребра ко­то­ро­го равна Сфера про­хо­дит через его вер­ши­ны В и D₁ и се­ре­ди­ны ребер BB₁ и CC₁. Най­ди­те пло­щадь сферы S, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Сфера про­хо­дит через все вер­ши­ны ниж­не­го ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы и ка­са­ет­ся ее верх­не­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь сферы, если пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы равна а вы­со­та приз­мы в два раза мень­ше ра­ди­у­са сферы.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 17, а вы­со­та  — 8 . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Квад­рат, длина диа­го­на­ли ко­то­ро­го равна 8, лежит в плос­ко­сти α. Сфера ка­са­ет­ся плос­ко­сти α в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та. Най­ди­те пло­щадь сферы, если рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до вер­ши­ны квад­ра­та равно

Ци­линдр пе­ре­се­чен такой плос­ко­стью, па­рал­лель­ной оси ци­лин­дра, что в се­че­нии по­лу­чил­ся квад­рат пло­ща­дью 100. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где S  — пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно

Плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 5 : 3, если счи­тать от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью, если она мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды на 39.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, равен Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где S  — пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка.

Ци­линдр пе­ре­се­чен такой плос­ко­стью, па­рал­лель­ной оси ци­лин­дра, что в се­че­нии по­лу­чил­ся квад­рат пло­ща­дью 36. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где S  — пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно

Плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, делит ее вы­со­ту в от­но­ше­нии 3 : 2, если счи­тать от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью, если она мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды на 48.

Квад­рат, длина диа­го­на­ли ко­то­ро­го равна 20, лежит в плос­ко­сти α. Сфера ка­са­ет­ся плос­ко­сти α в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та. Най­ди­те пло­щадь сферы, если рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до вер­ши­ны квад­ра­та равно